树的局部轮廓中路径与星的比较

本文旨在对 Bubeck 和 Linial 最近关于树的局部轮廓的一个问题给出肯定回答。对于树 $T$，令 $p^{(k)}_1(T)$ 为 $T$ 的所有 $k$ 顶点子树（诱导连通子图）中路径的比例，令 $p^{(k)}_2(T)$ 为星的比例。我们的主定理陈述：若对于大小趋于无穷的树序列 $T_1,T_2,\ldots$ 有 $p^{(k)}_1(T_n) \to 0$，则 $p^{(k)}_2(T_n) \to 1$。并且二者也被证明等价于以下陈述：$k$ 顶点子树的数量超线性增长，以及第 $(k-1)$ 阶度矩超线性增长。