多重权族与伪星

设 ${\cal T}=(T,w)$ 为具有叶子 $1,..., n$ 的带权有限树。对任意 $I :=\{i_1,..., i_k \} \subset \{1,...,n\}$，令 $D_I ({\cal T})$ 为 $T$ 中连接 $i_1,..., i_k$ 的最小子树的权；称 $D_{I} ({\cal T})$ 为 ${\cal T}$ 的 $k$-权。给定由 $\{1,..., n\}$ 的 $k$-子集参数化的一族实数 $\{D_I\}_{I \in {\{1,...,n\} \choose k}}$，若对于任一 $I$ 均有 $D_I({\cal T})=D_I$，则称带叶 $1,..., n$ 的带权树 ${\cal T}=(T,w)$ 实现了该族。在 [P-S] 中 Pachter 与 Speyer 证明：若 $3 \leq k \leq (n+1)/2$ 且 $\{D_I\}_{I \in {\{1,...,n\} \choose k}}$ 是一族正实数，则至多存在一个实现该族的正权本质树 ${\cal T}$（叶为 $1,...,n$）（其中“本质”指不存在度为 $2$ 的顶点）。我们称树 $P$ 为 $(n,k)$ 型伪星，若其叶集基数为 $n$ 且 $P$ 的任意边将叶集划分为两个集合，其中至少一个的基数 $\geq k$。在此我们证明：若 $3 \leq k \leq n-1$ 且 $\{D_I\}_{I \in {\{1,...,n\} \choose k}}$ 是由某带权树实现的一族实数，则恰存在一个无内部零权边、叶为 $1,...,n$ 的 $(n,k)$ 型带权本质伪星 ${\cal P}=(P,w)$ 实现该族；此外我们描述了如何由 ${\cal P}$ 得到任意其他实现该族的带权树。最后我们考察了实现固定族的带权树的总权范围。