某些特定图的$2$-权族

设${\cal G}=(G,w)$为一个正权图，即一个图$G$配备一个从$G$的边集到正实数集的函数$w$；对任意不同顶点$i,j$，我们定义$D_{i,j}({\cal G})$为$G$中连接$i$和$j$的具有最小权重的路径的权。本文中我们固定一类特定的图，并给出一个判据以确定：给定一族正实数$\{D_I\}_{I \in { \{1,...., n\} \choose 2}}$，是否存在一个属于我们所固定类的正权图${\cal G} =(G,w)$，其顶点集为$\{1,....,n\}$且对任意$I \in { \{1,...., n\} \choose 2}$满足$D_I ({\cal G}) =D_I$。具体而言，我们考虑的图类如下：蛇图、毛虫图、多边形图、二部图、完全图、平面图。