符号图具有满秩的一些判据

加权图 $G^{\omega}$ 由一个简单图 $G$ 和一个权重 $\omega$ 组成，其中 $\omega$ 是一个映射，$\omega$: $E(G)\rightarrow\mathbb{Z}\backslash\{0\}$。符号图是指边被标记为 $-1$ 或 $1$ 的图。在本文中，我们刻画了具有以下性质的图：存在一种符号标记使其符号邻接矩阵具有满秩，以及存在一种权重使其加权邻接矩阵不具有满秩。我们证明，对于任意简单图 $G$，存在符号 $\sigma$ 使得 $G^{\sigma}$ 具有满秩，当且仅当 $G$ 具有一个 $\{1,2\}$-因子。我们还证明，对于图 $G$，存在权重 $\omega$ 使得 $G^{\omega}$ 不具有满秩，当且仅当 $G$ 至少具有两个 $\{1,2\}$-因子。