树的不相似族的一个刻画

设 ${\cal T}=(T,w)$ 为具有叶子 $1,..., n$ 的加权有限树。对于任意 $I :=\{i_1,..., i_k \} \subset \{1,...,n\}$，令 $D_I ({\cal T})$ 为连接 $i_1,..., i_k$ 的 $T$ 的最小子树的权重；称 $D_{I} ({\cal T})$ 为 ${\cal T}$ 的 $k$-权重。给定一个由 $\{1,..., n\}$ 的 $k$-子集参数化的实数族 $\{D_I\}_{I \in {\{1,...,n\} \choose k}}$，如果对任意 $I$ 有 $D_I({\cal T})=D_I$，则称具有叶子 $1,..., n$ 的加权树 ${\cal T}=(T,w)$ 实现了该族。2006年，Levy、Yoshida 和 Pachter 针对以 $\{1,..., n\}$ 为叶集的任意正加权树 ${\cal T}=(T,w)$ 以及任意 $i, j \in \{1,..., n\}$，定义数 $S_{i,j}$ 为 $\sum_{Y \in {\{1,..., n\} -\{i,j\} \choose k-2}} D_{i,j ,Y}({\cal T})$；他们证明了存在正加权树 ${\cal T}' =(T',w')$ 使得对任意 $i,j \in \{1,..., n\}$ 有 $D_{i,j}({\cal T}')=S_{i,j}$，并且这棵新树在某种意义下与给定的树相似。在本文中，利用 Levy、Yoshida 和 Pachter 定义的 $S_{i,j}$，我们刻画了由 ${\{1,...,n\} \choose k}$ 参数化的实数族，这些实数族正是叶集为 $\{1,...., n\}$ 且内部边权重为正的加权树的 $k$-权重族。