任意直径的极小树族

给定一棵树 $T$，令 $q(T)$ 为底层图是 $T$ 的对称矩阵中不同特征值的最少个数。众所周知 $q(T)\geq d(T)+1$，其中 $d(T)$ 为 $T$ 的直径；若 $q(T)=d(T)+1$，则称树 $T$ 为极小的（diminimal）。在本文中，我们给出任意固定直径的极小树族。我们的证明是构造性的，使得对于这些族中直径为 $d$ 的任意极小树 $T$，我们可计算一个底层图为 $T$ 且谱恰有 $d+1$ 个不同特征值的对称矩阵 $M$。