有向图 $A_{\alpha}$ 矩阵迹范数界

设 $D$ 为阶为 $n$ 的有向图，其邻接矩阵为 $A(D)$。当 $\alpha\in[0,1)$ 时，$D$ 的 $A_{\alpha}$ 矩阵定义为 $A_{\alpha}(D)=\alpha {\Delta}^{+}(D)+(1-\alpha)A(D)$，其中 ${\Delta}^{+}(D)=\mbox{diag}~(d_1^{+},d_2^{+},\dots,d_n^{+})$ 为顶点出度的对角矩阵。设 $D$ 的 $A_{\alpha}$ 矩阵奇异值为 $\sigma_{1\alpha}(D),\sigma_{2\alpha}(D),\dots,\sigma_{n\alpha}(D)$。则 $A_{\alpha}(D)$ 的迹范数，我们称为 $D$ 的 $\alpha$ 迹范数，定义为 $\|A_{\alpha}(D)\|_*=\sum_{i=1}^{n}\sigma_{i\alpha}(D)$。本文求出一些基本有向图的奇异值，并刻画了具有 $\mbox{Rank}~(A_{\alpha}(D))=1$ 的有向图 $D$。作为这些结果的应用，我们获得了有向图 $A_{\alpha}$ 矩阵迹范数的下界并确定极端有向图。特别地，我们确定 $A_{\alpha}$ 矩阵迹范数达到最小值时的有向树。我们获得了有向图 $\alpha$ 谱范数 $\sigma_{1\alpha}(D)$ 的下界并刻画极端有向图。作为本结果的应用，我们获得了有向图 $\alpha$ 迹范数的上界并刻画极端有向图。