零对角实对称与 Hermitian 矩阵的最小迹范数

我们针对某些对角为零的矩阵，依据按元素 $L^1$ 范数（记为 $\Vert \cdot \Vert_{(1)}$）给出其迹范数 $\Vert \cdot \Vert_1$ 的紧下界。我们证明在阶为 $n$ 的对角为零的非零实对称矩阵 $A$ 的空间上，量 $\frac{\Vert A\Vert_1}{\Vert A\Vert_{(1)}}$ 的最小值为 $\frac{2}{n}$。在 Hermitian 矩阵空间中类似问题的答案亦被得到为 $\tan(\frac{\pi}{2n})$。这些结果的等价“对偶”形式，给出了当距离在谱范数下计算时，给定对称或 Hermitian 矩阵到最近对角矩阵距离的上界。