舒尔-西格尔-史密斯迹问题的矩阵类比

设 $\mathcal{S}$ 为所有具有非零上下对角元素的可对称化正整数矩阵的集合，$\mathcal{T}$ 为所有具有非零上对角元素的正定实对称矩阵的集合，其所有非零元素均为某些正整数的平方根，且这些矩阵满足某一循环条件。本文中，对任意 $n \times n$ 矩阵 $A \in \mathcal{S} \cup \mathcal{T}$ 及任意 $k \in \mathbb{N}$，我们给出 $Tr_{2^k}(A)$（即 $A$ 的特征值的 $2^k$ 次幂之和）的一个通用下界，该下界依赖于 $n$ 以及若干其他变量。特别地，我们得到 $Tr_2(A)$ 的最佳可能下界为 $6n - 5$。作为该结果的一个有力推论，我们证明 $\overline{Tr_2(A)} = \frac{Tr_2(A)}{n}$ 的最小极限点为 $6$。这是对 $\mathcal{S} \cup \mathcal{T}$ 中矩阵特征多项式的“舒尔-西格尔-史密斯迹问题”类比的一个求解。我们还得到了对任意正整数 $k > 1$ 及同一矩阵集合，$\overline{Tr_{2^k}(A)}$ 的最小极限点的下界。此外，我们证明了 Smyth 关于全正整数的绝对迹测度与绝对迹-2测度密度的著名结果，对于对称整数连通正定矩阵集合同样成立。