对称多项式的尖锐不等式、Hunter 猜想与指数随机变量的矩

我们证明了关于完全齐次对称多项式的 Hunter 猜想。对于偶数 $n$ 和每个整数 $k\geq 1$，我们证明在约束 $\sum_{i=1}^n a_i^2=1$ 下，偶次多项式 $h_{2k}(a_1,\dots,a_n)$ 的全局最小值恰好在半加半减向量处，并以闭式计算最优值。该证明将 $h_{2k}$ 的代数性质与概率表示 $k!\,h_k(a)=\mathbb{E}(\sum_{i=1}^n a_iX_i)^k$ 结合，其中 $X_1,\dots,X_n$ 为独立同分布的标准指数随机变量，其密度为 $e^{-x}1_{x>0}$，并结合一个组合恒等式。这种观点进一步给出了在自然约束下 $\mathbb{E}|\sum_{i=1}^n a_iX_i|^{q}$ 的尖锐上界和下界，包括球形约束 $\sum a_i^2=1$ 结合非负 regime $a_i\ge0$，或中心化 regime $\sum a_i=0$。此外，我们确定了 $h_{2k}$ 在 $\ell_\infty$-球面 $S_\infty = \{a \in \mathbb{R}^n : \|a\|_\infty = 1\}$ 上的确切最小值，这给出了完全齐次对称多项式诱导矩阵范数与经典算子范数和 Schatten 范数之间的尖锐范数比较不等式。