随机集合中的等和与除数的集中度

我们研究了一个典型整数 $n$ 的除数在多大程度上是集中的。特别地，通过定义 Erdős-Hooley $\Delta$-函数为 $\Delta(n) := \max_t \# \{d | n, \log d \in [t,t+1]\}$，我们证明了对几乎所有 $n$ 有 $\Delta(n) \geq (\log \log n)^{0.35332277\dots}$，我们相信这个界是精确的。这否证了 Maier 和 Tenenbaum 的一个猜想。我们还证明了关于随机排列和有限域上随机多项式的除数集中度的类似结果。本文的大部分内容致力于研究以下更具组合性且独立感兴趣的问题。以概率 $1/i$ 选取 $i$ 属于 $A$，随机选取一个集合 $A \subset \mathbb{N}$。使得几乎必然地当 $D \rightarrow \infty$ 时，某个整数能以 $k$ 种不同方式表示为 $A \cap [D^{\beta_k}, D]$ 中元素之和的所有指数 $\beta_k$ 的上确界是多少？我们将 $\beta_k$ 刻画为离散立方体 $\{0,1\}^k$ 上测度的某个优化问题的解，并得到了我们认为渐近精确的 $\beta_k$ 下界。