关于埃尔多希与拉马努金的除数和

设 $d(n)$ 表示正整数 $n$ 的除数个数。数论中一个经典问题是除数和 $\sum_{n \leq x} \frac{1}{d(n)}$ 的渐近行为，其中拉马努金引入了一个渐近公式，并对Leading项的常数 $A_1$ 进行了显式求值，即 $A_1 \frac{x}{\sqrt{\log x}}$。Gabdullin 等人最近考虑了该问题与Titchmarsh除数问题 $\sum_{p\leq x} d(p-1)$ 的混合体，证明了 $$\sum_{p\leq x} \frac{1}{d(p-1)} \asymp \frac{x}{(\log x)^{3/2}}.$$ 该结果结合埃尔多希的渐近公式 $\sum_{n \leq x} d(d(n)) \sim c \, x \log \log x$（其中 $c \in (0, \infty)$ 为常数），我们进而考虑其混合体 $\sum_{n \leq x} \frac{1}{d(d(n))}$。由于存在倒数，这使得分析显著复杂化，因为它放大了 $d(d(n))$ 异常小的整数的贡献。本文我们证明了 $$\sum_{n \leq x} \frac{1}{d(d(n))} \asymp \frac{x}{ \log \log x},$$ 通过结合使用 Golomb 对强数的估计和 Turán 对 Hardy-Ramanujan 定理的定量形式。