广义除数函数的三重卷积和及素数上的相关和

我们研究了广义除数函数的三重卷积和 $$\sum_{n\leq x} d_k(n+h)d_l(n)d_m(n-h),$$ 其中 $h \le x^{1-\epsilon}$（对于任意 $\epsilon>0$），$d_k(n)$ 表示广义除数函数，它计算将 $n$ 写为 $k$ 个正整数乘积的方式数。本文的目的有三方面。首先，我们给出上述和式的一个预测渐近估计，其中估计中出现的常数可以通过多复变量 Dirichlet 级数理论获得，也可使用一些概率论证得到。然后，我们证明可以利用多变量 Tauberian 定理推导出正确阶的下界，更重要的是，可以恢复预测渐近式中的常数。最后，秉承 Titchmarsh 除数问题的精神，我们考虑了素数上的这一三重卷积和，这本质上导出了一个移位卷积和。我们利用多重 Dirichlet 级数的 Tauberian 理论以及 Bombieri-Vinogradov 定理推导出其显式下界。