一类正整数上涉及除数和函数的卷积和的初等计算

我们讨论了一种初等方法，用于计算卷积和 $\underset{\substack{ {(l,m)\in\mathbb{N}_{0}^{2}} \\ {\alpha\,l+\beta\,m=n} } }{\sum}\sigma(l)\sigma(m)$，其中 $\alpha,\beta\in\mathbb{N}$ 满足 $\gcd{(\alpha,\beta)}=1$ 且 $\alpha\beta=2^{\nu}\mho$，$\nu\in\{0,1,2,3\}$，$\mho$ 为互异奇素数的有限乘积。我们借助模形式得到了这一结果。我们还将卷积和的提取推广到所有自然数。随后，当 $\alpha\beta\equiv 0\pmod{4}$ 或 $\alpha\beta\equiv 0\pmod{3}$ 时，我们利用此类卷积和确定了正整数 $n$ 的八元二次型表示数的公式。为实现此应用，我们首先讨论了一种计算所有数对 $(a,b),(c,d)\in\mathbb{N}^{2}$ 的方法，这些数对是当 $\alpha\beta$ 具有上述形式且 $\alpha\beta\equiv 0\pmod{4}$ 或 $\alpha\beta\equiv 0\pmod{3}$ 时确定正整数 $n$ 的八元二次型表示数公式所必需的。我们通过显式计算 $\alpha\beta=33=3\cdot 11,\> \alpha\beta=40=2^{3}\cdot 5$ 和 $\alpha\beta=56=2^{3}\cdot 7$ 的卷积和，并重新考察 $\alpha\beta=10$, $11$, $12$, $15$, $24$ 的卷积和计算，来说明我们的方法。我们随后应用这些卷积和确定了正整数 $n$ 的八元二次型表示数公式。此外，我们还确定了当 $(a,b)=(1,1)$, $(1,3)$, $(2,3)$, $(1,9)$ 时正整数 $n$ 的表示数公式。