一类水平上涉及混合除数函数的卷积和求值

设 $0< n,\alpha,\beta\in\mathbb{N}$ 且满足 $\gcd{(\alpha,\beta)}=1$。我们利用特别地模形式,对所有水平 $\alpha\beta\in\mathbb{N}$ 完成了卷积和 $\underset{\substack{ {(k,l)\in\mathbb{N}^{2}} \\ {\alpha\,k+\beta\,l=n} } }{\sum}\sigma(k)\sigma_{3}(l)$ 与 $\underset{\substack{ {(k,l)\in\mathbb{N}^{2}} \\ {\alpha\,k+\beta\,l=n} } }{\sum}\sigma_{3}(k)\sigma(l)$ 的求值。接下来,我们将属于此类水平的卷积和应用于确定正整数 $n$ 由十二变量二次型 $\underset{i=1}{\overset{12}{\sum}}x_{i}^{2}$ (当水平 $\alpha\beta\equiv 0\pmod{4}$ 时)以及 $\underset{i=1}{\overset{6}{\sum}}\,(\,x_{2i-1}^{2}+ x_{2i-1}x_{2i} + x_{2i}^{2}\,)$ (当水平 $\alpha\beta\equiv 0\pmod{3}$ 时)表示数的公式。我们的方法随后通过显式求值 $\alpha\beta=3$、$4$、$6$、$7$、$8$、$9$、$12$、$14$、$15$、$16$、$18$、$20$、$21$、$27$、$32$ 的卷积和加以说明。这些卷积和随后被应用于确定正整数 $n$ 由十二变量二次型表示数的显式公式。