涉及除数函数求和的卷积和在 14、22 和 26 时的求值

对所有自然数 $n$，我们讨论卷积和 $\underset{\substack{{(l,m) \in \mathbb{N}_0^2} \\ {\alpha\,l+\beta\,m=n} } }{\sum}\sigma(l)\sigma(m)$ 的求值，其中 $\alpha\beta=14,22,26$。我们利用权为 $4$ 的 Eisenstein 形式对所有正整数对 $(\alpha,\beta)$ 推广了该卷积和的提取。我们还确定了正整数由八元二次型 $a\,(x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + x_4^2)+ b\,(x_5^2 + x_6^2 + x_7^2 + x_8^2)$ 表示的数目的公式，其中 $(a,b)= (1,1), (1,3), (2,3), (1,9)$。这些正整数的表示数目是 J. G. Huard 等人、A. Alaca 等人和 D. Ye 对某些卷积和求值的应用。