除数上某些函数的卷积和

本文的主要目标之一是建立除数求和函数 $\widetilde{\sigma}_s(n)=\sum_{d|n}(-1)^{d-1}d^s$ 和 $\widehat{\sigma}_s(n)=\sum_{d|n}(-1)^{\frac{n}{d}-1}d^s$（对于某些 $s$）的卷积和，这些函数最初由 Glaisher 定义。我们首先引入三个分别与 $\widetilde{\sigma}(n)$、$\widehat{\sigma}(n)$ 和 $\widetilde{\sigma}_3(n)$ 相关的函数 $\mathcal{P}(q)$、$\mathcal{E}(q)$ 和 $\mathcal{Q}(q)$，然后在拉马努金椭圆函数理论中用两个参数 $x$ 和 $z$ 对它们进行求值。利用这些公式，我们推导出一些恒等式，从中可以导出卷积和恒等式。我们讨论了一些用 $\widetilde{\sigma}(n)$、$\widehat{\sigma}(n)$ 和 $\widetilde{\sigma}_3(n)$ 表示 $r_s(n)$ 和 $\delta_s(n)$（$s=4,$ $8$）的公式，其中 $r_s(n)$ 表示将 $n$ 表示为 $s$ 个平方数之和的方式数，$\delta_s(n)$ 表示将 $n$ 表示为 $s$ 个三角数之和的方式数。最后，我们利用有色分拆的概念找到了一些分拆同余式。