Glaisher除数与无穷乘积

Ramanujan给出了用除数函数和 $\sigma(n)$ 表示的分割函数的递推关系。1885年，J.W. Glaisher考虑了与除数函数和密切相关的七个除数和。我们发展了一种演算，将生成函数与这些除数和中的每一个相关联。这给出了若干分割理论函数以及 $r_k(n)$ 和 $t_k(n)$ 的Ramanujan递推关系的类比，其中后者是计数将一个数写为平方数（分别为三角数）之和的方式数的函数。作为这种关联的副产品，我们获得了除数函数的若干卷积、递推与同余式。我们给出了两个经典定理的另证，一个归于Legendre，另一个为Ramanujan同余 $p(5n+4) \equiv 0 \pmod 5$。