关于具有指定被加数的分拆数

Andrews、Lewis 和 Lovejoy 引入了分拆函数 PD(n)，定义为具有指定被加数的 $n$ 的分拆数，其中假设在大小相等的部分中，恰好有一个被指定。他们证明了 PD(3n+2) 能被 3 整除。我们获得了 PD(3n+2) 生成函数的 Ramanujan 型恒等式，从而推导出 Andrews、Lewis 和 Lovejoy 的同余式。对于 PD(3n)，Andrews、Lewis 和 Lovejoy 表明其生成函数可以表示为 $(1-q^{2n+1})$ 的幂的无穷乘积乘以函数 $F(q^2)$。我们找到了 $F(q^2)$ 的显式公式，从而得出了 PD(3n) 生成函数的公式。我们还获得了 PD(3n+1) 生成函数的公式。我们的证明依赖于 Chan 关于 Ramanujan 立方连分数的恒等式以及一些立方 theta 函数恒等式。通过为具有指定被加数的分拆引入秩，我们给出了 Andrews、Lewis 和 Lovejoy 同余式的组合解释。