除数函数与和系统的个数

除数函数从Dirichlet至今一直吸引着数论学家的注意。此处我们考虑相伴除数函数 $c_j^{(r)}(n)$，其中对于非负整数 $j, r$，其计数将 $n$ 表示为 $j+r$ 个因子的有序乘积的方式数，其中前 $j$ 个必须为非平凡因子，并将其自然推广到负整數 $r$。我们给出这些新算术函数的递推性质与显式公式。具体而言，函数 $c_j^{(-j)}(n)$ 在差一个符号的意义下计数 $n$ 分解为 $j$ 个无平方非平凡因子的有序分解数。这些函数与修正的Möbius函数相关，并证明在计数给定维数的和系统个数中起核心作用。\par 和系统是有限个非负整数有限集合的有限收集，具有规定基数，其集合和生成连续整数且无重复。利用最近建立的和系统与其分量集合基数的联合有序分解间的双射，我们证明了一个用相伴除数函数表达不同和系统个数的公式。