非平凡因子函数的若干性质与应用

第 $j$ 个因子函数 $d_j$ 计算一个正整数分解为 $j$ 个正整数因子的有序分解数，是非常著名的算术函数；特别地，$d_2(n)$ 给出 $n$ 的因子个数。然而，第 $j$ 个非平凡因子函数 $c_j$ 计算一个正整数分解为 $j$ 个均大于等于 2 的因子的有序真分解数，则研究得相当少。我们还考虑伴随因子函数 $c_j^{(r)}$，其定义受 $d_j$ 的求和递归所启发。在回顾 $d_j$ 的性质后，我们研究 $c_j$ 与 $c_j^{(r)}$ 的类似性质，具体涉及它们的 Dirichlet 级数与生成函数，以及用二项式系数和与超几何级数表示的形式。我们还将它们的比值表示为二项式系数和与超几何级数，并在某些情形下求出显式的 Dirichlet 级数与 Euler 乘积。作为非平凡与伴随因子函数的一个说明性应用，我们展示它们如何用于计数 Ollerenshaw 与 Br\'ee 所考虑的这类主可逆方阵，并由此得到整数的和距系统。