递归丰数与递归完全数

除数函数 $\sigma(n)$ 对 $n$ 的因子求和。当 $\sigma(n) - n > n$ 时称 $n$ 为丰数，当 $\sigma(n) - n = n$ 时称 $n$ 为完全数。我最近引入了递归除数函数 $a(n)$，即除数函数的递归类比。它度量一个数在多大程度上可高度分解为部分，且这些部分又可高度分解为子部分，依此类推。正如除数函数催生了丰数与完全数，递归除数函数催生了它们的递归类比，我在此引入。若 $a(n) > n$，则称该数为递归丰数或 ample；若 $a(n) = n$，则称其为递归完全数或 pristine。丰数、完全数与它们的递归对应物之间存在惊人的平行性。两个 ample 数之积为 ample，且 ample 数或为丰数或为奇完全数。奇 ample 数存在但稀少，我猜想存在不被前 $k$ 个素数整除的此类数——这对丰数已知成立。存在无穷多个 pristine 数，但除 1 外它们不可能为奇数。pristine 数是 2 的幂与某些丢番图方程奇素数解的乘积，令人联想到完全数是 2 的幂与梅森素数的乘积。这些数之间的平行性暗示了除数函数与其递归类比之间更深层的联系，值得进一步研究。