分拆的 BG 秩及其应用
组合数学
2007-05-23 v4 数论
摘要
设 \pi 为一个分拆。在 [2] 中我们将 BG-rank(\pi) 定义为各部分奇偶性的交错和。该统计量被用来推广并精细化著名的 Ramanujan 模 5 分拆同余式。设 p_j(n)（a_{t,j}(n)）表示 BG 秩为 j 的 n 的分拆（t-核）的个数。此处，我们通过证明 5-核 crank 模 5 的剩余将 p_j(5n+4) 所计数的分拆分成五个相等的类，给出了 5|p_j(5n+4) 的一个优美的组合证明。该证明使用了 [2] 中的轨道构造以及关于 BG 秩的新恒等式。此外，对于正奇数 t，我们求得了生成函数系数 a_{t,floor((t+1)/4)}(n)、a_{t,-floor((t-1)/4)}(n) 的 eta-商表示。最后，我们推导了 j=0,1,-1 时系数 a_{5,j}(n) 的显式公式。
引用
@article{arxiv.math/0602362,
title = {The BG-rank of a partition and its applications},
author = {Alexander Berkovich and Frank G. Garvan},
journal= {arXiv preprint arXiv:math/0602362},
year = {2007}
}
备注
20 pages. This version has an expanded section 7, where we defined gbg-rank and stated a number of appealing results. We added a new reference. This paper will appear in Adv. Appl. Math