关于 Ramanujan 模 5 分拆同余的 Andrews-Stanley 加细及其推广
摘要
在近期对符号平衡标记偏序集的研究中，Stanley 引入了一个新的整数分拆统计量 srank(pi) = O(pi) - O(pi')，其中 O(pi) 表示分拆 pi 的奇数部分的数目，而 pi' 是 pi 的共轭。Andrews 证明了 Ramanujan 模 5 分拆同余的如下加细：p[0](5n +4) = p[2](5n + 4) = 0 (mod 5)，p(n) = p[0](n) + p[2](n)，其中 p[i](n) (i = 0; 2) 表示 srank = i (mod 4) 的 n 的分拆数，p(n) 是无限制分拆数。Andrews 要求一个分拆统计量，能将由 p[i](5n + 4) (i = 0, 2) 所计数的分拆划分为五个等数的类。本文我们讨论三个这样的统计量：St-crank、2-商秩和 5-核 crank。第一个虽然是新的，却与 Andrews-Garvan crank 密切相关。第二个基于分拆的 2-商。第三个由 Garvan、Kim 和 Stanton 引入。我们在对 Andrews 加细的组合证明中使用了它。值得注意的是，Andrews 的结果是 Ramanujan 模 5 同余的一个更强加细的简单推论。这一更一般的加细使用了一个我们称之为 BG-秩的新分拆统计量。我们运用 BG-秩证明了模 5 的新的分拆同余。最后，我们讨论了一些关于 5-核分拆的新公式，并探讨了 3-核与 Andrews-Garvan crank 之间一个引人注目的关系。
引用
@article{arxiv.math/0402439,
title = {On the Andrews-Stanley Refinement of Ramanujan's Partition Congruence Modulo 5 and Generalizations},
author = {Alexander Berkovich and Frank G. Garvan},
journal= {arXiv preprint arXiv:math/0402439},
year = {2007}
}
备注
24 pages, 2figures. This paper is greatly expanded version of an earlier paper which appeared as arXiv:math.CO/0401012