无穷族 crank 函数、Stanton 型猜想与单峰性
数论
2022-03-23 v2 组合数学
摘要
Dyson 的 rank 函数与 Andrews--Garvan crank 函数著名地给出了 Ramanujan 模 5、7 和 11 分拆函数同余的组合见证。尽管这些函数可用于表明相应的分拆集合划分为 5、7 或 11 个等势集合，人们仍可能追问如何使按 rank 或 crank 组织的分拆间所得双射在组合上显式化。Stanton 近期提出了旨在揭示此类更深层组合结构的猜想，其中发现需要对 rank 和 crank 作微小修正。本文中，我们证明了其中两个猜想。我们还基于单峰性与对称性，给出了某些分圆多项式除多项式之商具有非负系数的抽象判据。此外，我们将 Stanton 猜想推广至无穷族 crank。这暗示了在其他组合对象上的进一步应用。我们还讨论了支持我们猜想的数值证据，以及与其他解析猜想（如分拆 rank 分布）的联系。
引用
@article{arxiv.2108.12979,
title = {Infinite families of crank functions, Stanton-type conjectures, and unimodality},
author = {Kathrin Bringmann and Kevin Gomez and Larry Rolen and Zack Tripp},
journal= {arXiv preprint arXiv:2108.12979},
year = {2022}
}