关于模 $4$ 和 $8$ 的分拆数的秩与曲柄

用 $p(n)$ 表示 $n$ 的分拆数，用 $N(a,M;n)$ 表示秩同余于 $a$ 模 $M$ 的 $n$ 的分拆数。通过考虑偏差 \begin{equation*} D(a,M) := \sum_{n= 0}^{\infty}\left(N(a,M;n) - \frac{p(n)}{M}\right) q^n, \end{equation*} 我们对 Andrews, Berndt, Chan, Kim 和 Malik 关于 mock theta 函数和分拆秩的近期结果给出了新的证明。通过考虑曲柄的偏差，我们对 Lewis 和 Santa-Gadea 的秩 - 曲柄恒等式给出了新的证明。我们重新审视了模 $M=5$ 和 $7$ 的秩与曲柄，其中我们关于曲柄的结果似乎是新的。我们还展示了如何通过考虑秩和曲柄的偏差，首次证明 Lewis 关于模 $M=8$ 的秩 - 曲柄差的猜想恒等式和不等式。