Dyson 秩与 Appell-Lerch 和

记 $p(n)$ 为 $n$ 的分拆数，$N(a,M;n)$ 为秩模 $M$ 同余于 $a$ 的 $n$ 的分拆数。我们通过考虑秩相对于平均值的偏差，找到并证明了 Dyson 秩的一个通用公式：\begin{equation*} D(a,M) := \sum_{n= 0}^{\infty}\left(N(a,M;n) - \frac{p(n)}{M}\right) q^n. \end{equation*} 利用 Appell--Lerch 和的性质，我们将 $D(a,M)$ 分解为模形式部分和 Mock 模形式部分，使得 Mock 模形式分量支撑在特定的算术级数上，且其模数可控。利用我们的分解，我们展示了该公式如何直接导出 Atkin 和 Swinnerton-Dyer 关于秩的结果，以及 Bringmann、Ono 和 Rhoades 关于 Maass 形式的结果。我们还将该技术应用于 Berkovitch 和 Garvan 提出的 Dyson 秩的一种变体。