广义立方分区的 5 的幂模容错族通过局部化方法

最近，Amdeberhan、Sellers 和 Singh 引入了一种新的无限分区函数族，称为广义立方分区。给定正整数 d，设 a_d(n) 为其中奇数部分不受限制、偶数部分为 d 色的分区计数函数。这类分区是Chan的立方分区概念的自然推广，当d=2时，两者完全一致。文献中存在大量关于立方分区的拉马努金式容错。在他们的工作中，Amdeberhan、Sellers 和 Singh 证明了a_d(n)满足d≥1的各种d值下的容错公式，其中包括具有素数模数的无限族。本文旨在证明a_3(n)关于5的幂模的容错族。具体而言，本文的主要定理断言：$$a_3\left(5^{2\alpha}n +\gamma_{\alpha} \right) \equiv 0 \pmod{5^\alpha},$$其中 $$\gamma_{\alpha} = 20 + \frac{19 \cdot 25 (25^{\alpha-1}-1)}{24}.$$ 为了证明这些容错，我们采用以Watson和Atkin关于分区函数p(n)的拉马努金式容错证明方法为中心的模块函数方法。然而，由于与我们所用模块函数相关的模块曲线X_0(10)的复杂性，经典方法无法直接应用。我们利用Banerjee和Smoot最近发展的局部化方法，该方法专为处理更复杂模块曲线上的容错族（如X_0(10)）而设计。