k-着色分拆模 5 的幂的同余式

令 $p_{-k}(n)$ 枚举 $n$ 的 $k$-着色分拆数。本文中，我们建立了 $k$-着色分拆模 25 的一些无限同余族。此外，我们对 $k=2, 6$ 及 $7$ 时的 $p_{-k}(n)$ 证明了一些模 5 的幂的 Ramanujan 型无限同余族。例如，对所有整数 $n\geq0$ 与 $\alpha\geq1$，我们证明 \begin{align*} p_{-2}\left(5^{2\alpha-1}n+\dfrac{7\times5^{2\alpha-1}+1}{12}\right) &\equiv0\pmod{5^{\alpha}} \end{align*} 以及 \begin{align*} p_{-2}\left(5^{2\alpha}n+\dfrac{11\times5^{2\alpha}+1}{12}\right) &\equiv0\pmod{5^{\alpha+1}}. \end{align*}