3-色与 9-色广义 Frobenius 分拆模 3 的幂的同余式

设 $c\phi_{k}(n)$ 为 $n$ 的 $k$-色广义 Frobenius 分拆的个数。我们建立了 $c\phi_{3}(n)$ 与 $c\phi_{9}(n)$ 模任意 3 的幂的若干无限同余族,精细化了 Kolitsch 的结果。例如,对 $k\ge 3$ 与 $n\ge 0$,我们证明 $$c\phi_{3}\Big(3^{2k}n+\frac{7\cdot 3^{2k}+1}{8}\Big) \equiv 0 \pmod{3^{4k+5}}.$$ 我们对 $c\phi_{9}(n)$ 满足的同余式给出两种不同的证明。其中一种证明使用了 Kolitsch 给出的 $c\phi_{9}(n)$ 与 $c\phi_{3}(n)$ 间的关系,本文中我们对该关系提供了新的证明。