关于6色广义弗罗贝尼乌斯分拆的一个猜想之证明

令$c\phi_{k}(n)$为$k$色广义弗罗贝尼乌斯分拆函数。利用Hirschhorn发现的$c\phi_{6}(3n+1)$的生成函数，我们证明了$c\phi_{6}(27n+16)\equiv 0$ (mod 243)。这证实了E.X.W. Xia的一个猜想。我们还发现了一个同余关系$c\phi_{6}(81n+61) \equiv 3 c\phi_{6}(9n+7)$ (mod 243)。此外，我们证明了$c\phi_{6}(81n+61) \equiv 0$ (mod 81)，$c\phi_{6}(243n+142) \equiv 0$ (mod 243)以及$c\phi_{6}(729n+ 547) \equiv 0$ (mod 243)。我们进一步猜想，对于$n\ge 0$，有$c\phi_{6}(243n+142) \equiv 0$ (mod 729)。