一类η商的同余及其推广应用

分拆函数$p_{[1^c\ell^d]}(n)$可由生成函数定义：$$\sum_{n=0}^{\infty}p_{[1^c{\ell}^d]}(n)q^n=\prod_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{(1-q^n)^c(1-q^{\ell n})^d}.$$在\cite{P}中，我们证明了该分拆函数在$\ell=11$时的无穷同余族。本文中，我们将\cite{P}中所用的思想推广，对任意整数$c$和$d$、素数$5\leq \ell\leq 17$，证明分拆函数$p_{[1^c\ell^d]}(n)$模$\ell$的幂的无穷同余族。这推广了Atkin、Gordon与Hughes关于分拆函数幂的同余。证明使用了同余子群$\Gamma_0(\ell)$的模函数向量空间的显式基。最后，我们利用这些同余证明了广义Frobenius $\ell$-色分拆、$\ell-$正则分拆与$\ell-$核分拆在$\ell=5,7,11,13$和$17$时的同余与不同余。