欧拉乘积幂次系数的同余式

设 $p_k(n)$ 由欧拉乘积的 $k$ 次幂 $\prod _{n=1}^{\infty}(1-q^n)^k=\sum_{n=0}^{\infty}p_k(n)q^{n}$ 给出。通过研究 Atkin $U$-算子下二阶与三阶模方程的性质，我们用一些线性递归序列表示了 $p_{8k}(2^{2\alpha} n +\frac{k(2^{2\alpha}-1)}{3})$ $(1\leq k\leq 3)$ 与 $p_{3k} (3^{2\beta}n+\frac{k(3^{2\beta}-1)}{8})$ $(1\leq k\leq 8)$ 的生成函数。结合 Engstrom 关于线性递归序列模 $m$ 周期性的结果，我们得到了 $p_k(n)$ 模任意 $m\geq2$ 的无穷同余族，其中 $1\leq k\leq 24$ 且 $3|k$ 或 $8|k$。基于这些 $p_k(n)$ 的同余式，可轻易得到许多分拆函数（如超分拆函数、$t$-核分拆函数与 $\ell$-正则分拆函数）的无穷同余族。