关于广义Frobenius分拆函数 $\phi_k(n)$ 的奇偶性

George Andrews在其1984年的美国数学会回忆录中定义了两类函数族,$\phi_k(n)$ 与 $c\phi_k(n)$,它们枚举了Andrews称为广义Frobenius分拆的两类组合对象。作为该回忆录的一部分,Andrews证明了这两类函数族中若干具体函数所满足的若干类Ramanujan同余式。在随后的岁月里,众多其他作者为这些函数证明了类似结果,通常针对参数 $k$ 的特定取值。在这篇简短笔记中,我们的目标是确定 $k$ 的一个{\bf 无穷}值族,使得 $\phi_k(n)$ 在特定算术级数中对所有 $n$ 均为偶数;具体而言,我们此项工作的主要目标是证明:对所有正整数 $\ell$、所有素数 $p\geq 5$ 以及所有满足 $24r+1$ 为模 $p$ 二次非剩余的值 $r$($0 < r < p$),有 $$\phi_{p\ell-1}(pn+r) \equiv 0 \pmod{2}$$ 对所有 $n\geq 0$ 成立。我们对此结果的证明是真正初等的,依赖于Andrews回忆录中的一条引理、经典的 $q$ 级数结果以及初等的生成函数操作。这样一种对无穷多个 $k$ 值成立的结果,在广义Frobenius分拆所满足的算术性质研究中是罕见的,主要因为相关生成函数的难处理性。