关于对称群的某些McKay数

对于素数 $\ell$ 与非负整数 $a$，我们研究分割函数 $$p_\ell(a;n):= \#\{\lambda \vdash n : \text{ord}_\ell(H(\lambda))=a\},$$ 其中 $H(\lambda)$ 表示分割 $\lambda$ 的钩长之积。这些分割值在对称群表示论中作为 McKay 数 $m_\ell(\text{ord}_\ell(n!) - a; S_n)$ 出现。我们以 $p_\ell(0;n)$ 与特定 D'Arcais 多项式的特化形式确定了 $p_\ell(a;n)$ 的生成函数。对 $\ell = 2$ 与 $3$，我们给出 $p_\ell(a;n)$ 的精确公式，并证明对几乎所有 $n$ 这些值为零。对更大的素数 $\ell$，$p_\ell(a;n)$ 对充分大的 $n$ 为正。尽管有此正性，我们证明对任意整数 $m$，$p_\ell(a;n)$ 几乎总被 $m$ 整除。进而，利用这些结果我们证明了若干 Ramanujan 型同余，包括同余式 $$p_\ell(a;\ell^k n - \delta(a,\ell)) \equiv 0 \pmod{\ell^{k+1}},$$ 对 $0<a< \ell$，其中 $\ell = 5, 7, 11$ 且 $\delta(a,\ell) := (\ell^2 - 1)/24 + a\ell$，这回答了 Ono 的一个问题。