Eta 商与某些分拆函数被素数幂整除的性质

Andrews 的 $(k, i)$-奇异超分拆函数 $\overline{C}_{k, i}(n)$ 计数 $n$ 的超分拆个数，其中没有部分被 $k$ 整除，且只有满足 $\equiv \pm i\pmod{k}$ 的部分可以被加横线。近年来，对于某些 $\ell$ 值，$\overline{C}_{3\ell, \ell}(n)$、$\overline{C}_{4\ell, \ell}(n)$ 和 $\overline{C}_{6\ell, \ell}(n)$ 被 $2$ 和 $3$ 整除的性质已被研究。本文中，我们研究 $\overline{C}_{3\ell, \ell}(n)$、$\overline{C}_{4\ell, \ell}(n)$ 和 $\overline{C}_{6\ell, \ell}(n)$ 被素数 $p\geq 5$ 整除的性质。对于所有正整数 $\ell$ 以及 $\ell$ 的素数因子 $p\geq 5$，我们证明 $\overline{C}_{3\ell, \ell}(n)$、$\overline{C}_{4\ell, \ell}(n)$ 和 $\overline{C}_{6\ell, \ell}(n)$ 几乎总是可被 $p$ 的任意幂整除。对于 $s\in \{3, 4, 6\}$，我们进一步证明使得 $\overline{C}_{s\cdot\ell, \ell}(n) \not\equiv 0\pmod{p_i^k}$ 的那些 $n$ 的集合是无限的，其中 $k$ 是满足 $p_i^{k-1}\geq \ell$ 的正整数。我们进一步改进了 Gordon 和 Ono 关于 $\ell$-正则分拆被某些素数幂整除的结果。我们也改进了 Ray 和 Chakraborty 关于 $\ell$-正则超分拆被某些素数幂整除的结果。