$\ell$-正则双分拆的算术密度与同余

设 $B_{\ell}(n)$ 表示 $n$ 的 $\ell$-正则双分拆数。本文证明，若 $p_i^{2a_i}\geq \ell$，则 $B_{\ell}(n)$ 始终几乎可被 $p_i^j$ 整除，其中 $j$ 为固定正整数，$\ell=p_1^{a_1}p_2^{a_2}\ldots p_m^{a_m}$，且 $p_i$ 为 $\geq 5$ 的素数。进一步，利用 Hecke 特征形式理论和 Newman \cite{Newmann1959} 的结果，我们得到了 $B_3(n)$ 和 $B_5(n)$ 的无穷多族同余。此外，通过应用 Radu 和 Seller 的方法，我们提出了一种算法，并由此获得了 $B_{p}(n)$ 的若干同余，其中 $p$ 为素数。