t-核分拆的算术密度与同余式

若 $n$ 的一个分拆的所有钩子数均不被 $t$ 整除，则称其为 $t$-核分拆。2019 年，Hirschhorn 与 Sellers \cite{Hirs2019} 得到了 $3$-核分拆函数 $a_3(n)$ 的一个奇偶性结果。最近，两位作者 \cite{MeherJindal2022} 证明了 $a_3(n)$ 的密度结果，其中我们证明了 $a_3(n)$ 几乎总是可被 $2$ 和 $3$ 的任意次幂整除。在本文中，我们证明了对非负整数 $\alpha$，$a_{3^{\alpha} m}(n)$ 几乎总是可被 $2$ 和 $3$ 的任意次幂整除。进一步，我们证明 $a_{t}(n)$ 几乎总是可被 $p_i^j$ 的任意次幂整除，其中 $j$ 为固定正整数且 $t= p_1^{a_1}p_2^{a_2}\ldots p_m^{a_m}$，素因子 $p_i \geq 5$。此外，通过采用 Radu 与 Seller 的方法，我们得到一个算法，并给出了关于 $a_{p}(n)$（其中 $p$ 为素数）模 $3$ 和 $5$ 的若干同余式的另证。我们的结果也推广了 \cite{radu2011a} 中的结果。