具有非平凡公约数的同时核划分
组合数学
2024-05-31 v2 数论
摘要
在过去二十年中，当 s 与 t 为无公约数的正整数时，关于 (s,t)-核划分的研究已极为丰富。此处我们略微改变视角，探索当 s 与 t 具有非平凡公约数 g 时 (s,t)-核与 (\bar{s},\bar{t})-核划分的性质。我们首先重访 D. Aukerman、D. Kane 与 L. Sze 关于非平凡 g 的 (s,t)-核划分的工作，随后在相同条件下获得 n 的 (\bar{s},\bar{t})-核划分数的生成函数。我们使用 g-核、g-商与 bar-类似物的方法，得到了关于非 g-核的 t-核与自共轭 t-核以及非 \bar{g}-核的 \bar{t}-核的新结果，从而加强了 K. Ono 与 A. Granville、J. Baldwin 等人以及 I. Kiming 的正性结果。随后我们详述了当 s 与 t 为具有奇数非平凡公约数 g 的奇数时，自共轭 (s,t)-核与 (\bar{s},\bar{t})-核划分之间的新双射。此处核-商构造与 B. Ford、H. Mai 和 L. Sze 以及 C. Bessenrodt 和 J. Olsson 的某些格路径标记异常契合。在此过程中，我们给出了 J. Yang 关于当 t 为奇数正数时自共轭 t-核与 \bar{t}-核划分之间对应性的新证明。最后我们指出 (s,t)-核与 (\bar{s}, \bar{t})-核划分从 g-核与 \bar{g}-核划分的那些继承 Ramanujan 型同余式。
引用
@article{arxiv.1909.11808,
title = {Simultaneous core partitions with nontrivial common divisor},
author = {Jean-Baptiste Gramain and Rishi Nath and James A. Sellers},
journal= {arXiv preprint arXiv:1909.11808},
year = {2024}
}
备注
22 pages. To appear in Ramanujan Journal