$(s,t)$-核心：Armstrong 猜想的加权版本

近年来，核心分拆的研究非常活跃，其中 $(s,t)$-核心（即既是 $s$-核心又是 $t$-核心的分拆）的研究扮演着重要角色。Armstrong 的一个猜想（最近由 Johnson 证明）指出，当 $s$ 和 $t$ 为互素正整数时，$(s,t)$-核心的平均大小为 $\frac1{24}(s-1)(t-1)(s+t-1)$。Armstrong 还猜想相同的公式给出了自共轭 $(s,t)$-核心的平均大小；这一猜想已由 Chen、Huang 和 Wang 证明。在本文中，我们发展了作者在论文 [J. Combin. Theory Ser. A 118 (2011) 1525-1539] 中的思想，该论文研究了仿射对称群在 $s$-核心集合上的作用，旨在给出 Armstrong 猜想的变体，其中每个 $(s,t)$-核心根据其在一个特定群作用下稳定子阶数的倒数进行加权。非正式地说，这种加权平均值给出了随机 $s$-核心的 $t$-核心的期望大小。