格点与同时核划分

我们观察到对于互质的a和b，“abacus construction”将同时(a,b)-核划分的集合与有理单纯形中的格点相对应。此外，关于(a,b)-核的许多统计量是该单纯形上的分段多项式函数。我们将这些结果应用于有理Catalan组合学。利用Ehrhart理论，我们重证了Anderson定理：存在(a+b-1)!/a!b!个同时(a,b)-核。利用Euler-Maclaurin理论，我们证明了Armstrong猜想：一个(a,b)-核的平均大小为(a+b+1)(a-1)(b-1)/24。我们的方法也给出了自共轭(a,b)-核的数量与平均大小的类似公式的新推导。我们猜想了q有理Catalan数的单峰性结果，并初步研究将这些方法应用于(q,t)-对称与特殊化猜想。我们证明了这些猜想在低次项及a=3时成立，将其与Catalan超平面排列和二次排列统计联系起来。