有理Dyck路径的秩补与$(m,n)$-核分拆的共轭

给定互素正整数对$(m,n)$，有理Catalan数$\frac{1}{m+n} \binom{m+n}{m,n}$计数两种组合对象：有理$(m,n)$-Dyck路径是$m\times n$矩形中从不低于对角线的格路；$(m,n)$-核是钩长不等于$m$或$n$的分拆。Anderson建立了$(m,n)$-Dyck路径与$(m,n)$-核之间的双射。我们定义有理Dyck路径上的一种新变换，称为秩补(rank complement)。我们证明在Anderson双射下秩补对应于$(m,n)$-核的共轭。这带来：i) 刻画$n$-核的新途径；ii) 计数自共轭$(m,n)$-核数目的简单方法；iii) 证明两个猜想的组合和式（一个对有向$(m,n)$-Dyck路径求和，另一个对$(m,n)$-核求和）对有理Catalan多项式等价的证明。