(n,m)-Dyck 路径上两个恒等式的加细

对于满足 n ≥ 1 且 0 ≤ m ≤ n 的整数 n, m，(n,m)-Dyck 路径是整数格 Z × Z 中使用上步 (0,1) 与下步 (1,0)、从原点 (0,0) 走到点 (n,n) 且恰有 m 个上步位于直线 y=x 下方的格路。经典 Chung-Feller 定理说 (n,m)-Dyck 路径总数与 m 无关，且等于第 n 个 Catalan 数 C_n=1/(n+1) {2n \choose n}。对任意满足 1 ≤ k ≤ n 的整数 k，令 p_{n,m,k} 为具有 k 个峰的 (n,m)-Dyck 路径总数。Ma 与 Yeh 证明了对于 0 ≤ m ≤ n 有 p_{n,m,k}=p_{n,n-m,n-k}，且对于 1 ≤ m ≤ n-2 有 p_{n,m,k}+p_{n,m,n-k}=p_{n,m+1,k}+p_{n,m+1,n-k}。本文给出这两个结果的双射证明。利用我们的双射，我们还依据起止步得到了关于数 p_{n,m,k} 与 p_{n,m,k}+p_{n,m,n-k} 的加细计数结果。