带缺陷格点路径的精细化

经典的Chung-Feller定理[2]告诉我们，长度为$n$、具有$m$个缺陷的Dyck路径的数量是第$n$个Catalan数，且与$m$无关。在本文中，我们通过四个参数，即峰、谷、双降和双升，考虑了带缺陷Dyck路径的精细化。设${p}_{n,m,k}$为半长度为$n$、具有$m$个缺陷和$k$个峰的所有Dyck路径的数量。首先，我们推导了多项式$P_{n,m}(x)=\sum\limits_{k=1}^np_{n,m,k}x^k$的互反定理。然后，我们发现了$p_{n,m,k}$与$p_{n,m,n-k}$之和的Chung-Feller性质。最后，我们为长度为$n$、具有$k$个双升的Dyck路径提供了一个Chung-Feller型定理：半长度为$n$、具有$m$个缺陷和$k$个双升的所有Dyck路径的数量，等于半长度为$n$、具有$k$个双升且从不经过x轴下方的所有Dyck路径的数量，该数量由Narayana数计数。设${v}_{n,m,k}$（对应地，$d_{n,m,k}$）为半长度为$n$、具有$m$个缺陷和$k$个谷（对应地，双降）的所有Dyck路径的数量。我们推导了一些类似的结果。