Dyck 路径的 Chung-Feller 定理的最小改变版本

具有 $2k$ 步和 $e$ 个缺陷的 Dyck 路径是整格上的路径，从原点出发，由 $k$ 个 $\nearrow$-步和 $k$ 个 $\searrow$-步组成，这些步分别将当前坐标改变 $(1,1)$ 或 $(1,-1)$，并且恰好有 $e$ 个 $\searrow$-步位于直线 $y=0$ 下方。用 $D_{2k}^e$ 表示具有 $2k$ 步和 $e$ 个缺陷的 Dyck 路径集合，Chung-Feller 定理断言集合 $D_{2k}^0,D_{2k}^1,\ldots,D_{2k}^k$ 均有相同的基数 $\frac{1}{k+1}\binom{2k}{k}=C_k$，即第 $k$ 个 Catalan 数。这一经典结果的标准组合证明建立了 $D_{2k}^e$ 与 $D_{2k}^{e+1}$ 之间的一个双射 $f'$，该双射交换给定 Dyck 路径 $x$ 的某些部分，使得 $x$ 与 $f'(x)$ 可能在许多位置上不同。在本文中，我们加强了 Chung-Feller 定理，提出了一个 $D_{2k}^e$ 与 $D_{2k}^{e+1}$ 之间的简单双射 $f$，它具有额外的特性，即 $x$ 与 $f(x)$ 仅在两个位置不同（最小可能数目）。我们还提出了一个算法，允许以每个生成的 Dyck 路径为常数时间来计算 $f$ 的应用序列。作为一个应用，我们利用我们的最小改变双射 $f$ 在奇图 $O_{2k+1}$ 和中间层图 $M_{2k+1}$——两个被深入研究的顶点传递图族——中构造由 $C_k$ 个等长圈组成的圈因子。