半完全有向图中一对多不相交路覆盖的最小半度充分条件

设 $D$ 为一个有向图。我们定义 $D$ 的最小半度为 $\delta^{0}(D) := \min \{\delta^{+}(D), \delta^{-}(D)\}$。设 $k$ 为正整数,并设 $S = \{s\}$ 与 $T = \{t_{1}, \dots ,t_{k}\}$ 为 $V(D)$ 的任意两个不相交子集。一组连接源集 $S$ 与汇集 $T$ 且覆盖 $D$ 所有顶点的 $k$ 条内部不相交路称为 $D$ 的一个一对多 $k$-不相交有向路覆盖(简称 $k$-DDPC)。若有向图 $D$ 的任意两个顶点 $x,y$ 之间至少有一条弧,则称其为半完全的。本文证明:每个阶 $n$ 充分大且 $\delta^{0}(D) \geq \lceil (n+k-1)/2\rceil$ 的半完全有向图 $D$,对任意不相交源集 $S = \{s\}$ 与汇集 $T = \{t_{1}, \dots, t_{k}\}$ 均具有一对多 $k$-DDPC。