局部入半完全有向图的 Berge 猜想与 Aharoni-Hartman-Hoffman 猜想

设 $k$ 为正整数，$D$ 为有向图。$D$ 的路划分 $\sP$ 是覆盖 $V(D)$ 的一组顶点不相交的路。其 $k$-范数定义为 $\sum_{P \in \sP} \Min{|V(P)|, k}$。若某路划分的 $k$-范数在 $D$ 的所有路划分中最小，则称该路划分为 $k$-最优的。部分 $k$-着色是 $k$ 个不相交稳定集的集合。若部分 $k$-着色 $\sC$ 中的每个稳定集与路划分 $\sP$ 中的每条路 $P \in \sP$ 恰好相交 $\min\{|P|,k\}$ 次，则称部分 $k$-着色 $\sC$ 与路划分 $\sP$ 正交。Berge (1982) 猜想 $D$ 的每个 $k$-最优路划分都有一个与其正交的部分 $k$-着色。$D$ 的（路）$k$-背包是 $D$ 中至多 $k$ 条顶点不相交的路的集合。其权重为其覆盖的顶点数。若某 $k$-背包的权重在 $D$ 的所有 $k$-背包中最大，则称该 $k$-背包为最优的。$D$ 的着色是将 $V(D)$ 划分为稳定集。若 $k$-背包 $\sP$ 中的每条路与着色 $\sC$ 中的每个集合 $C \in \sC$ 恰好相交 $\Min{|C|, k}$ 次，则称 $k$-背包 $\sP$ 与着色 $\sC$ 正交。Aharoni、Hartman 和 Hoffman (1985) 猜想 $D$ 的每个最优 $k$-背包都有一个与其正交的着色。若 $D$ 的每对相异顶点均相邻，则有向图 $D$ 为半完全的。若对于每个顶点 $v \in V(D)$，$v$ 的入邻域导出半完全有向图，则有向图 $D$ 为局部入半完全的。局部出半完全有向图可类似定义。在本文中，我们证明了局部入/出半完全有向图的 Berge 猜想与 Aharoni-Hartman-Hoffman 猜想。