关于 Erd"os-Faber-Lov\'asz 猜想的注记：拟群与完全有向图

简单图 $G$ 的一个分解是一个二元组 $(G,P)$，其中 $P$ 是 $G$ 的子图集合，它以如下方式划分 $G$ 的边：$G$ 的每条边恰好属于 $P$ 中的一个子图。如果 $P$ 的元素均为导出子图，则该分解记作 $[G,P]$。分解 $(G,P)$ 的一个 $k$-$P$-染色是一个满射函数，它将 $G$ 的边赋予一个来自 $k$ 种颜色集合的颜色，使得 $H\in P$ 的所有边具有相同颜色，并且如果 $H_1,H_2\in P$ 满足 $V(H_1)\cap V(H_2)\neq\emptyset$，则 $E(H_1)$ 和 $E(H_2)$ 具有不同颜色。分解 $(G,P)$ 的色指数 $\chi'((G,P))$ 是使得 $(G,P)$ 存在 $k$-$P$-染色的最小数 $k$。著名的 Erd"os-Faber-Lov\'asz 猜想断言，任何分解 $[K_n,P]$ 均满足 $\chi'([K_n,P])\leq n$。我们利用拟群与完全有向图给出了满足该猜想的一族新的分解。