关于平衡分解数

图 $G$ 的{\em 平衡着色}是指顶点集 $V(G)$ 的三个互不相交子集 $\{P_1,P_2,X\}$，使得 $V(G)=P_1 \uplus P_2 \uplus X$ 且 $|P_1|=|P_2|$。与 $G$ 的平衡着色 $V(G)=P_1 \uplus P_2 \uplus X$ 相关联的{\em 平衡分解}定义为 $V(G)=V_1 \uplus \cdots \uplus V_r$（对于某个 $r$）的一个划分，使得对于每个 $i \in \{1,\cdots,r\}$，$G$ 的子图 $G[V_i]$ 是连通的，且 $|V_i \cap P_1| = |V_i \cap P_2|$。图 $G$ 的{\em 平衡分解数}定义为最小整数 $s$，使得对于 $G$ 的每个平衡着色 $V(G)=P_1 \uplus P_2 \uplus X$，都存在一个平衡分解 $V(G)=V_1 \uplus \cdots \uplus V_r$，其每个元素 $V_i (i=1, \cdots, r)$ 至多有 $s$ 个顶点。S. Fujita 和 H. Liu [/SIAM J. Discrete Math. 24, (2010), pp. 1597--1616/] 证明了一个优美的定理，指出图 $G$ 的平衡分解数至多为 3 当且仅当 $G$ 是 $\lfloor\frac{|V(G)|}{2}\rfloor$-连通的。不幸的是，他们的证明冗长（约 10 页）且复杂。在此，我们给出了该定理的一个简明证明。该证明阐明了平衡分解数与图匹配之间的关系。