关于图的局部反魔色数

一个具有至少三个顶点的连通图 $G$ 的{\it 局部反魔标号}是一个双射 $f:E(G) \rightarrow \{1,2,\ldots , |E(G)|\}$，使得对于 $G$ 的任意两个相邻顶点 $u$ 和 $v$，条件 $\omega _{f}(u) \neq \omega _{f}(v)$ 成立；其中 $\omega _{f}(u)=\sum _{x\in N(u)} f(xu)$。对 $V(G)$ 中每个顶点 $u$ 赋予 $\omega _{f}(u)$，自然地导出 $G$ 的一个正常顶点染色；而 $|f|$ 表示此正常顶点染色中出现的颜色数。图 $G$ 的{\it 局部反魔色数}，记为 $\chi _{la}(G)$，定义为 $|f|$ 的最小值，其中 $f$ 取遍 $G$ 的所有局部反魔标号。在本文中，我们显式构造了一类无限连通图 $G$，使得 $\chi _{la}(G)$ 可以任意大，而 $\chi _{la}(G \vee \bar{K_{2}})=3$，其中 $G \vee \bar{K_{2}}$ 是 $G$ 与 $K_{2}$ 的补图的联图。这一事实构成了 [Local antimagic vertex coloring of a graph, {\em Graphs and Combinatorics}\ {\bf 33} (2017), 275--285] 中一个定理的反例。